和音の音程と数学 - 隆の導火線

日記？を再開してから2か月ぐらいが経ちましたが、なんだか最近は日記というか、ブログの記事みたいになってきています。
数年間日記を書いていなかったおかげで、書きたかったことが溜まっていて、それをまとめて放出しているうちにこんなことに…

しかし最近では、ネタが尽きかけているせいか、遅筆になってきました。
まあ、マイペースに書こうとは思っているのですが、2日に一回更新しよう、と心の中で考えていたのも途切れそうです。

…とここまで言い訳をしたところで、大学時代に書いたコラムを見つけてきました。
和音の音程について、長調の第三音を下げ目に取る理由について考えたものです。

サークル内の配布物に寄稿しましたが、こっちのネタにもなるかなーと。
ネタ切れ感が凄いですね。

まあいいや。
それでは、始まり始まり～

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今回は理工学部っぽい感じで、みんなの嫌いな数学の話をしたいと思います。時間があれば読んでみてください。

音とは空気の振動、空気が造る細かい波です。1秒間に空気が $A$ 回振動するとき、｢周波数が $A$ Hzである｣と言います。皆さんお馴染みのA=442Hzでチューニングというのは、チューニングBの半音下のAの音が442Hzである、ということです。

ここで、ある周波数 $A_1$ [Hz]の音1と、この倍の周波数 $A_2$ [Hz](= $2A_1$ [Hz])の音2があったとします。このとき、｢音2は音1より1オクターブ高い」といいます。勘のいい人はわかると思いますが、周波数が4倍になると2オクターブ高くなります。8倍だと3オクターブです。つまり、 $n$ オクターブ違う2つの音の周波数、 $A_1$ [Hz]と $A_2$ [Hz]の関係は下のようになります。2のn乗となりますね! これぐらいわからないと大学には入れません。

$2^n=A_2/A_1$

昔の偉い人は、オクターブを1200等分したものを1centとする、と決めました。
つまり、 $x$ cent違う音の周波数の関係を上の式と同じようにつくると、下のようになります。

$2^(x/1200)=A_2/A_1$

上の式と比べると、1200cent違うと1オクターブ違うというのがすぐわかりますね。ちなみに、オクターブを12等分した100centというのが、平均律でいうところの「半音」になります。
例を考えてみましょう。A=442Hzでチューニングをしている時、チューニングBの音の周波数はいくつになるでしょうか?
上の式のxには、BはAより半音高いので100 centを、A1には442Hzを代入すると、下のように求まります。

${\begin{equation}2^\frac{100}{1200}=\frac{A_2}{442}\end{equation}}$

すなわち、

${\begin{equation}A_2=442×2^\frac{1}{12}≈468.3Hz\end{equation}}$

Excelとか関数電卓があれば全然できますね。

ここで、次からの話題のために、皆さん高校の時に数学ⅡBで習ったlogの知識を使って上の式を下のように書き換えておきます。

$x=1200×log_2 (A_2⁄A_1)$

話題は変わりまして、和音の話になります。周波数の比が綺麗な整数比になる時に、綺麗な和音ができあがります。
その中でも簡単な整数比、4:5:6を考えてみましょう。それぞれの周波数を $4f$ 、 $5f$ 、 $6f$ とおきます。これが最も有名な三和音、長三和音となります。誰もが知っている、ドミソの和音です。
まず、ドとミの関係を見てみましょう。 $A_1$ に $4f$ 、 $A_2$ に $5f$ をさっきの式に代入してみます。

${\begin{equation}1200×log_2\frac{5f}{4f}=1200×log_2\frac{5}{4}≈386.3 cent\end{equation}}$

平均律ではドとミは半音4つ分、つまり400 centになります。もうお気づきですよね? 三音が普段13.7 cent低くして演奏しなさいと言われる理由はここにあります。
次にドとソの関係を見てみます。上と同じように4fと6fを用いて計算すると、702.0 centとなります。平均律では半音7つ分である700centに対して2cent高いのがすぐにわかるでしょう。これは結構小さいので無視していいと思います、たぶん。

まとめると、centというのは周波数比により、純正律は計算で求められるということです。

ちなみに純正律では周波数比が、1:1を完全1度、1:2を完全8度(オクターブ)、2:3を完全5度、3:4を完全4度、4:5を長3度、5:6を短3度としています。これを使って、短調の3度がどれだけ音程を変えなくてはならないのか計算してみるのも良いでしょう。
また代表的な4和音として属七の和音(ドミソシ♭)がありますが、この和音に対する解釈の一つとして、周波数比4:5:6:7という属7度音程があります。これは計算してみると－31.2centとなるんですね。でも、属7度は純正律ではそうなりません。どういうことがいいたいかというと、この周波数比に関する知識は万能じゃないってことですね。あくまで、｢解釈の一つ｣として考えてもらうといいと思います。

他にも周波数が2倍、3倍…となっていく「倍音」があります。トランペットでは下のBが第2倍音なので、解放でリップスラーをして考えてみてくださいな。トランペットはもともとBを基音とする純正律の楽器です。だから、「この音は高く(低く)なりやすい」っていうのがあるんですね。
もっと知りたい人は、インターネットを使ってみるのも良いと思いますが、僕に聞いてくれればそこらの音大生よりは語れると思います。

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…と、昔の俺は言っていた。